ધારો કે $a, b$ અને $c$ એ અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ માન ધરાવતા સદિશો છે અને $a + b + c = 0$ છે. તો $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ નું મૂલ્ય શોધો.

$AB=a$ અને $AC=b$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ છે. $P$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે અને $Q$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે જેથી $\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$ અને $\frac{BQ}{QC}=\frac{1}{2}$ થાય. જો $AQ$ અને $CP$ નું છેદબિંદુ $D$ હોય અને $\triangle BCD$ નું ક્ષેત્રફળ $7$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ (તે જ એકમમાં) કેટલું થાય?

જો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એકમ સદિશો છે કે જેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને લંબ છે,અને $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 1$ હોય,તો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો $a, b$ અને $c$ ત્રણ સદિશો એવા હોય કે જેથી $|a + b + c| = 1$, $c = \lambda(a \times b)$, અને $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $|b| = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $|c| = \frac{1}{\sqrt{6}}$, તો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે

જો સદિશ $xi - j + k$ નો સદિશ $2i - j + 5k$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{30}}$ હોય, તો $x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}-8\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{c}=4\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ એ ત્રણ સદિશો છે કે જેથી $\vec{b} \times \vec{a}=\vec{c} \times \vec{a}$ થાય. જો સદિશ $\vec{c}$ અને સદિશ $3\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\tan^2 \theta$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક શોધો: